SIMULAZIONE VERIFICA

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Sezione 1
Scomponi, nella modalità più opportuna, i seguenti polinomi e indica il metodo utilizzato.




Sezione 2
Determina il massimo cumene divisore e il minimo comune multiplo dei seguenti polinomi.




Sezione 3
Cosa vuol dire scomporre un polinomio in fattori primi?
Cosa si intende per polinomio irriducibile?

LEZIONE 4 - Parte II

Massimo comune divisore di polinomi

Per calcolare il M.C.D. di due o più polinomi, si scompongono i polinomi in fattori primi e si moltiplicano tra loro i fattori comuni presi una sola volta con il minimo esponente.

Esempio
Testo
Calcolare il massimo comune divisore tra i seguenti polinomi

Svolgimento
Si scompongono in fattori i polinomi dati

Si evidenziano i fattori comuni

Si scelgono i fattori comuni con il minimo esponente

Si moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente


Esercizi
Calcolare il M.C.D. dei seguenti polinomi

Minimo comune multiplo di polinomi

Per calcolare il m.c.m. di due o più polinomi, si scompongono i polinomi in fattori primi e si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni presi una sola volta con il massimo esponente.

Esempio
Testo
Calcolare il massimo comune divisore tra i seguenti polinomi

Svolgimento
Si scompongono in fattori i polinomi dati:

Si evidenziamo i fattori comuni e non, con il massimo esponente

Si moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente


Esercizi
Calcolare il M.C.D. dei seguenti polinomi

LEZIONE 4 - Parte I

Prerequisiti

Massimo comune divisore di numeri naturali
Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due numeri naturali è il più grande tra i divisori comuni a due numeri. Operativamente, per determinare M.C.D., si moltiplicano i fattori comuni con il minimo esponente.

Esempio
Testo
Determinare il massimo comune divisore tra 540 e 162 [in simboli M.C.D.(540,162)].
Svolgimento
Si scompongono in fattori primi i numeri dati:

Si evidenziano i fattori comuni:

Si scelgono i fattori comuni con il minimo esponente:

Si moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente:



Minimo comune multiplo di numeri naturali
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due numeri naturali è il più piccolo numero, diverso da 0, tra i loro multipli. Operativamente, per determinare m.c.m., si moltiplicano tutti i fattori, comuni e non, presi con il massimo esponente.

Esempio
Testo
Determinare il minimo comune multiplo tra 327 e 442 [in simboli m.c.m.(327,442)].
Svolgimento
Si scompongono in fattori primi i numeri dati.

Si evidenziano i fattori comuni e non, con il massimo esponente:

Si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non, con il massimo esponente:

ESERCITAZIONE 2

Scomponi i seguenti polinomi e indica il tipo di scomposizione che hai utilizzato

LEZIONE 3 - Parte III

Teorema di Ruffini

Un polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x-a) se e solo se P(a)=0, cioè se a è uno zero del polinomio.

In questo modo è possibile scomporre P(x) in fattori.

Infatti se P(x) è divisibile per il binomio (x-a) si avrà

che è appunto una scomposizione di P(x) in fattori. Ovviamente anche Q(x) è un divisore di P(x) che può, eventualmente, essere nuovamente scomposto in fattori.

Come trovare un binomio (x-a) divisore di P(x)?

Attraverso gli zeri del polinomio si individua il termine a e di seguito si applica la struttura di Ruffini: Vediamo la costruzione mediante un esempio di cui, in precedenza, avevamo calcolato gli zeri 1) Posizioniamo i coefficienti delle incognite.
N.B.1 Il polinomio deve essere ordinato
N.B.2 Qualora non fosse presente un grado di un incognita si utilizza 0 come coefficiente 2) Posizioniamo il termine noto 3) Posizioniamo il valore 4) Facciamo scendere il primo coefficiente, lo moltiplichiamo per a ed il prodotto lo disponiamo in colonna al secondo coefficiente, eseguiamo la somma riportando il risultato che viene a sua volta moltiplicato per a e così a seguire fino al completamento della casella del resto che deve contenere il valore 0 al fine di validare il teorema.



5) Scriviamo il polinomio come scomposizione di fattori, facendo attenzione che i coefficienti di

Q(x) siano di un grado inferiori rispetto a P(x). Per quanto detto il binomio divisore (x-a), con a=1, è pari a (x-1) ed il quoziente è 6) Controlliamo che il polinomio Q(x) non sia a sua volta scomponibile, cercando gli zeri del polinomio. I divisori del termine noto sono di conseguenza
Non esistono zeri del polinomio quindi il polinomio è irriducibile.

7) Per quanto detto P(x) risulta scomposto ai minimi termini e si può scrivere nella forma fattorizzata
Esercizi
Scomporre mediante Ruffini gli esercizi 1 e 2 relativi agli zeri di un polinomio.

LEZIONE 3 - Parte II

Metodo di Ruffini

Teorema del resto
Dato un polinomio P(x), il valore che si ottiene sostituendo alla variabile x un numero a, è il resto della divisione del polinomio per il binomio (x-a).

Dimostrazione.
Sostituendo a alla x in entrambi i membri della precedente equazione si ottiene

Esempio
Si divida il polinomio
per il binomio

Si è quindi ottenuto
Verifichiamo sostituendo in
da cui

c.v.d.

Esercizi
Verificare il teorema del resto

Zeri di un polinomio
I valori che sostituiti a un polinomio lo rendono uguale a zero si chiamano zeri di un polinomio.
Se il coefficiente del termine di grado massimo è pari a 1 (indipendentemente dal segno), gli zeri del polinomio devono essere ricercati nell’insieme dei divisori del termine noto.

Esempio
Trovare gli zeri del polinomio

I divisori del termine noto sono

Verifichiamo, sostituendoli all’incognita, se annullano il polinomio.

Pertanto solo 1 è uno zero del polinomio.

Se il coefficiente del termine di grado massimo è diverso da 1, gli zeri del polinomio devono essere ricercati nell’insieme dei divisori del termine noto e delle frazioni aventi per numeratore un divisore del termine noto e per denominatore un divisore del coefficiente del termine di grado massimo.

Esempio
Trovare gli zeri del polinomio

I possibili zeri sono i divisori del termine noto

a cui si aggiungono le frazioni

Verifichiamo, sostituendoli all’incognita, se annullano il polinomio.

Pertanto solo

è uno zero del polinomio.

Esercizi
Determinare gli zeri dei seguenti polinomi