LEZIONE 3 - Parte I

Trinomio notevole

Consideriamo un trinomio di secondo grado rispetto ad una determinata incognita, ad esempio x, con coefficiente del termine di secondo grado uguale a 1.

Per scomporre questo trinomio ci proponiamo di esprimere il coefficiente del termine di primo grado come somma di due addendi e il termine noto come prodotto degli stessi due numeri e ottenere così un quadrinomio a cui applicare il procedimento del raccoglimento parziale.
Siano a e b due numeri interi, tali che

si ha:

In generale

Esempio
Scomponiamo il polinomio

Determiniamo due numeri la cui somma sia 6 e il cui prodotto sia 8. I divisori di 8 sono:
tra questi osserviamo che 2 e 4 sono tali che quindi:

Esercizi
Scomporre i seguenti polinomi utilizzando il trinomio notevole.

ESERCITAZIONE 1

Scomponi i seguenti polinomi e indica il tipo di scomposizione che hai utilizzato

LEZIONE 2

Uso dei prodotti notevoli

Si possono utilizzare i prodotti notevoli per trasformare un’espressione nel prodotto di più fattori.

Quadrato di un binomio
Notazione simbolica:

Esempio:


Interpretazione geometrica:

Quadrato di un trinomio
Notazione simbolica:

Esempio:

Interpretazione geometrica:

Differenza di quadrati
Notazione simbolica:

Esempio:

Interpretazione geometrica:

Cubo di un binomio
Notazione simbolica:

Esempio:

Somma/differenza di cubi
Notazione simbolica:

La seconda parentesi è un polinomio irriducibile o falso quadrato
Esempio:

LEZIONE 1 - Parte II

Fattorizzazione

Si può scomporre in fattori primi un polinomio se si trovano due o più fattori primi diversi dall’unità che moltiplicati tra loro danno l’espressione di partenza.

Scomporre in fattori primi un polinomio significa scriverlo sottoforma di prodotto di due o più fattori primi diversi dall’unità.
Non esiste una regola generale che possa essere sempre valida per la scomposizione.
Non è sempre detto che un polinomio possa essere scomposto. Come esistono i numeri primi, esistono i polinomi irriducibili.

Raccoglimento

Raccoglimento totale a fattore comune
Si applica la proprietà distributiva mettendo in evidenza il fattore comune a.
Esempi

Raccoglimento della parte letterale

Raccoglimento della parte letterale e numerica

Raccoglimento della potenza

Raccoglimento parziale
Si applica la proprietà distributiva a parti del polinomio e successivamente si mette in evidenza l’eventuale fattore comune.

Esempi

Raccoglimento della parte letterale

Raccoglimento della parte letterale e numerica

Raccoglimento della potenza

LEZIONE 1 - Parte I

Prerequisiti

Scomposizione dei numeri

Nell’insieme dei numeri naturali N la divisione non è legge di composizione interna; in altri termini non è sempre possibile effettuare la divisione fra due numeri naturali.
Nell’insieme dei numeri naturali N è possibile effettuare soltanto la divisione “intera”. La divisione “intera” tra due numeri produce un quoziente ed un resto. In generale, se a e b sono due numeri naturali qualunque, le due scritture a:b = q con resto r e a = bq + r sono equivalenti. Si ricorda che anche q e r sono numeri naturali. Quando il resto è uguale a zero (r = 0) si dice che il numero a è multiplo del numero b.

Talvolta è utile o necessario trovare i divisori o i multipli comuni a due numeri e, anche in tali casi, si ricorre alla scomposizione in fattori primi. L’importanza dei numeri primi risiede nel fatto che ogni numero naturale si può scomporre in fattori primi in un solo modo.

Esempio di scomposizione in fattori primi
Definiamo numero primo un numero naturale diverso da 0 e da 1 divisibile solo per uno e per se stesso.
I numeri primi sono infiniti.

Esempi → 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …


Proprietà delle potenze

In particolare le due proprietà qui evidenziate :

Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Il quoziente di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Schema unità didattica 4/4

Livelli.
Attraverso l’Unità Didattica presentata, il docente pone come livello minimo di apprendimento la padronanza del concetto di scomposizione e di polinomio irriducibile con particolare attenzione alla metodologia di fattorizzazione utilizzata. Lo svolgimento degli esercizi deve essere completo. La presenza di eventuali errori di lieve entità (errori di calcolo) non pregiudica il raggiungimento della sufficienza se lo svolgimento risulta coerente con l’errore.

Verifica dell’apprendimento.
La verifica scritta ha lo scopo di valutare l’acquisizione dei contenuti e lo sviluppo di abilità specifiche, nonché di stabilire l’efficacia della metodologia didattica utilizzata e di programmare eventuali interventi di recupero.

La verifica scritta sarà articolata in tre sezioni così suddivise:

• 1° sezione: sei esercizi inerenti la fattorizzazione (raccoglimenti, uso di prodotti notevoli, trinomio notevole, metodo di Ruffini);
• 2° sezione: due esercizi inerenti il calcolo del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo (gli esercizi avranno diferrente grado di difficoltà);
• 3° sezione: due domande di teoria.

Griglia di valutazione

Schema unità didattica 3/4

Finalità.
Conoscenze:

• Raccoglimento a fattore comune
• Uso dei prodotti notevoli
• Teorema del resto
• M.C.D. e m.c.m. di polinomi

Abilità:

• Scomporre in fattori un polinomio
• L’algoritmo di Ruffini
  

Metodo.

• Lezioni frontali (esposizione dei contenuti fondamentali da parte dell’insegnante, preparata mediante un’adeguata distillazione secondo la metodologia della didattica breve).
• Esercitazioni individuali e di gruppo con allievi tutor (si propongono esercizi parzialmente risolti e da completare, esercizi guidati, esercizi mirati svolti con il ripasso del metodo regressivo per proprietà o definizioni).
• Interazione in rete mediante blog.
  

Strumenti.

• Docente: Lavagna, Libro di testo, Dispense, Blog.
• Studenti: Materiale per scrivere, Libro di testo, Blog.