LEZIONE 3 - Parte III

Teorema di Ruffini

Un polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x-a) se e solo se P(a)=0, cioè se a è uno zero del polinomio.

In questo modo è possibile scomporre P(x) in fattori.

Infatti se P(x) è divisibile per il binomio (x-a) si avrà

che è appunto una scomposizione di P(x) in fattori. Ovviamente anche Q(x) è un divisore di P(x) che può, eventualmente, essere nuovamente scomposto in fattori.

Come trovare un binomio (x-a) divisore di P(x)?

Attraverso gli zeri del polinomio si individua il termine a e di seguito si applica la struttura di Ruffini: Vediamo la costruzione mediante un esempio di cui, in precedenza, avevamo calcolato gli zeri 1) Posizioniamo i coefficienti delle incognite.
N.B.1 Il polinomio deve essere ordinato
N.B.2 Qualora non fosse presente un grado di un incognita si utilizza 0 come coefficiente 2) Posizioniamo il termine noto 3) Posizioniamo il valore 4) Facciamo scendere il primo coefficiente, lo moltiplichiamo per a ed il prodotto lo disponiamo in colonna al secondo coefficiente, eseguiamo la somma riportando il risultato che viene a sua volta moltiplicato per a e così a seguire fino al completamento della casella del resto che deve contenere il valore 0 al fine di validare il teorema.



5) Scriviamo il polinomio come scomposizione di fattori, facendo attenzione che i coefficienti di

Q(x) siano di un grado inferiori rispetto a P(x). Per quanto detto il binomio divisore (x-a), con a=1, è pari a (x-1) ed il quoziente è 6) Controlliamo che il polinomio Q(x) non sia a sua volta scomponibile, cercando gli zeri del polinomio. I divisori del termine noto sono di conseguenza
Non esistono zeri del polinomio quindi il polinomio è irriducibile.

7) Per quanto detto P(x) risulta scomposto ai minimi termini e si può scrivere nella forma fattorizzata
Esercizi
Scomporre mediante Ruffini gli esercizi 1 e 2 relativi agli zeri di un polinomio.